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Signaux et systèmes

Foire aux questions

On trouvera dans ce document un lot de questions avec ou sans réponses sur les signaux et les systèmes. Ces questions constituent de véritables exercices élaborés majoritairement par moi-même mais parfois par des étudiants eux-mêmes. Ils sont alors cités après leur accord.

Table des matières

 Échelle logarithmique : repérage d'une valeur.. PAGEREF _Toc232585036 \h 1

I - Question.. PAGEREF _Toc232585037 \h 1

II - Réponse. PAGEREF _Toc232585038 \h 2

Échelle logarithmique : construction.. PAGEREF _Toc232585039 \h 2

I - Question.. PAGEREF _Toc232585040 \h 2

II - Réponse. PAGEREF _Toc232585041 \h 2

approximation de Bode et Gain d'un correcteur.. PAGEREF _Toc232585042 \h 2

I - Question.. PAGEREF _Toc232585043 \h 2

II - Réponse. PAGEREF _Toc232585044 \h 2

Ordre d'un filtre pour une pente de coupure donnée. PAGEREF _Toc232585045 \h 4

I - Question.. PAGEREF _Toc232585046 \h 4

II - Réponse. PAGEREF _Toc232585047 \h 4

Caractéristiques des coefficients de H(p) PAGEREF _Toc232585048 \h 5

I - Question.. PAGEREF _Toc232585049 \h 5

II - Réponse. PAGEREF _Toc232585050 \h 5

II.1 - Systèmes envisagés. PAGEREF _Toc232585051 \h 5

II.2 - Signes des coefficients. PAGEREF _Toc232585052 \h 5

II.2.1 - >0. PAGEREF _Toc232585053 \h 6

II.2.2 - =0. PAGEREF _Toc232585054 \h 6

II.2.3 - <0. PAGEREF _Toc232585055 \h 6

II.2.4 - Conclusions. PAGEREF _Toc232585056 \h 6

 

Échelle logarithmique : repérage d'une valeur

I - Question

Un axe a été tracé par un usager comme ci-dessous. On demande de repérer la valeur w = 100.

II - Réponse

Elle est détaillée est présentée dans le document signaux et systèmes linéaires continus.

Échelle logarithmique : construction

I - Question

On souhaite étudier les caractéristiques d'un système pour une variation de w entre 0,15 et 85000. Il se trouve que les faibles valeurs de w ont une importance non négligeable et que pour cette raison on souhaite l'usage d'une échelle logarithmique. Comment construire l'axe correspondant sur une feuille de largeur donnée ?

II - Réponse

La réponse détaillée est présentée dans le document signaux et systèmes linéaires continus.

approximation de Bode et Gain d'un correcteur

I - Question

Question posée par Benjamin Ventura, (ESTP)

On dispose d'un système mécanique constitué :

è d'un moteur dont la vitesse angulaire est liée à la tension électrique de commande,

è d'une génératrice tachymétrique délivrant une tension proportionnelle à la vitesse du moteur.

Ce système est modélisable selon la fonction de transfert de Laplace :        

On souhaite corriger le gain statique de ce système de façon que la phase entre la sortie et l'entrée soit de . Peut-on tirer profit de l'approximation asymptotique de Bode ?

II - Réponse

Oui, avec une erreur maximale de 3 dB. En effet, H(p) est telle que :

D'où les approximations asymptotiques du gain logarithmique (voir le document signaux et systèmes linéaires continus) :

On sait que . Il faut donc translater la courbe de gain, en rouge sur la figure, :

è vers le haut d'une quantité y si y < 0,

è vers le bas d'une quantité 20 log 6 – y, si y > 0.

Rappelons que :

è l'approximation du gain logarithmique est constituée de segments de droite parce que l'axe des abscisses respecte une échelle logarithmique,

è la pente de D2 est de –20 dB/décade,

è l'approximation asymptotique du gain logarithmique introduit un écart, , compris entre –3 dB et –6 dB dépendant de la différence entre les constantes de temps. Nous sommes dans une situation où ces dernières étant relativement proches l'écart est lui-même proche de ‑6 dB,

è l'approximation asymptotique de la phase introduit un écart difficile à quantifier mais que l'on peut orienter. En effet le gain 20 log 6 – y correspond à une phase légèrement supérieure à –135°. Pour obtenir cette phase la valeur 20 log 6 – y est donc légèrement supérieure à celle que l'on doit obtenir.

En conséquence :

è nous admettrons un écart de la courbe de gain avec son approximation asymptotique de –6 dB et corrigerons d'autant y pour obtenir yc = – 6

è                                                                  y = 1,584 dB

è d'où : yc = 1,584 – 6 Þ                                                                yc = – 4,416 dB

è La bonne valeur est très certainement légèrement inférieure. Une simulation sur Orcad a donné pour bonne valeur : – 5,102 dB. L'écart avec l'approximation faite à la suite du calcul précédent est inférieur à 0,7 dB. C'est évidemment très encourageant.

Résultats finaux :

è La courbe de gain doit donc être :                  translatée vers le haut de 4,416 dB

è Le gain à apporter est donc de 4,416 = 20 log gc Þ                             gc =1,663

è Une simulation sur Orcad conduit à un gain logarithmique de – 1,11 dB au lieu de 0, c'est-à-dire un gain arithmétique global de 0,88 au lieu de 1.

Ordre d'un filtre pour une pente de coupure donnée

I - Question

On souhaite construire un filtre passe-bas ayant une pente de coupure de - 48 dB/octave.

è Quelle est la pente correspondante par décade ?

è Quel est l'ordre minimum du filtre correspondant ?

II - Réponse

è Rappelons que (signaux et systèmes linéaires continus) :

®   la pente d'une courbe est définie dans une échelle linéaire, et bien sûr celle du gain d'un filtre,

®   l'octave correspond à une variation de la pulsation correspondant à un doublement de sa valeur initiale,

®   la décade correspond à une variation de la pulsation correspondant à une multiplication par 10 de sa valeur initiale.

En conséquence toute échelle logarithmique de la pulsation correspond à des variations d'abscisses linéaires.

Premier exemple : prenons une échelle logarithmique de base 2 et appelons  les abscisses respectives des pulsations . l varie alors linéairement : , ,

On peut donc écrire :

D'où :                                                             

Deuxième exemple : prenons une échelle logarithmique de base 10 et appelons  les abscisses respectives des pulsations . l varie alors linéairement : , ,

On peut donc écrire :

D'où :                                                             

Que ce dernier résultat soit identique au précédent était prévisible. En effet :

è Rappelons que (signaux et systèmes linéaires continus) :

®   la pente de coupure d'un passe-bas du premier ordre est - 6 dB/octave,

®   la pente de coupure d'un passe-bas du premier ordre est - 20 dB/décade.

Premier calcul :                                                                

Deuxième calcul :                                           

Que les deux calculs mènent au même résultat est satisfaisant…!

Caractéristiques des coefficients de H(p)

I - Question

Est-il possible de préciser la nature de la fonction de transfert de systèmes particuliers ?

II - Réponse

Oui, des contraintes sur la nature des systèmes entraîne des caractéristiques sur leurs fonctions de transfert. Nous savons déjà que la stabilité et la causalité imposent des contraintes sur les pôles (lorsqu'il y en a) de H(p).

II.1 - Systèmes envisagés

Nous allons nous restreindre à des systèmes dont les caractéristiques sont les suivantes :

è la fonction de transfert appartient à la classe des fractions rationnelles. Nous prendrons l'exemple d'un système simple du 2ème ordre tel que :          

En effet une expression plus générale de H(p) telle que  peut toujours se ramener à la forme précédente (voir le cours signaux et systèmes linéaires continus).

En outre nous laissons au lecteur le soin d'élargir l'étude qui suit à des systèmes plus complexes.

è le système est réel, d'où :                                                                    

è le système est physiquement réalisable, d'où :   sa transformée de Fourier existe

è le système est temporel, d'où :                                             le système est causal

è le système est stable, d'où :                                                        

II.2 - Signes des coefficients

Nous allons montrer que les contraintes précédentes entraînent des contraintes sur les coefficients a et b et particulièrement sur leurs signes.

Notons d'emblée que le système est du 2ème ordre Þ                                      

La fonction de transfert peut se mettre sous la forme :   

d'où :                                                                                               

Le système ayant une transformée de Fourier l'axe des imaginaires purs appartient au domaine de convergence. Si l'on ajoute qu'il est causal et stable alors :             

A partir de là, selon le signe du discriminant du dénominateur, on distingue les trois cas suivants :

II.2.1 - D>0

Donc  et . D'où :

II.2.2 - D=0

Donc  et .

D'où :                                                         

II.2.3 - D<0

Donc  et .

D'où                                    

II.2.4 - Conclusions

Pour les systèmes envisagés (causaux, temporels et stables) le résultat ne dépend pas du signe de D, les coefficients sont toujours positifs :                                                 

On aurait pu atteindre les mêmes résultats plus rapidement en utilisant la forme canonique de H(p) c'est-à-dire  dont l'analyse a été faite dans signaux et systèmes linéaires continus.

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